Για τη σάλτσα, ζεσταίνουμε το ελαιόλαδο σε μια μέτρια κατσαρόλα και σωτάρουμε το σκόρδο για ένα λεπτό.
Προσθέτουμε τις τομάτες τη ζάχαρη, το τσίλι, αλάτι και πιπέρι και σιγοβράζουμε για περίπου 35 λεπτά μέχρι να αποκτήσει υφή μαρμελάδας.
Στη συνέχεια, προσθέτουμε την κρέμα βαλσαμικού, ανακατεύουμε και αποσύρουμε από τη φωτιά.
Σε νερό που βράζει ζεματίζουμε το σπανάκι για ένα λεπτό.
Το σουρώνουμε και στραγγίζουμε πολύ καλά πιέζοντάς το για να φύγει όλο το νερό.
Το βάζουμε σε ένα μπωλ, προσθέτουμε τη φέτα, το κατσικίσιο τυρί, τα αβγά, τη ρίγανη και το πιπέρι και ανακατεύουμε καλά.
Σε ένα τετράγωνο, αντικολλητικό ταψί 24 εκ. βάζουμε μια στρώση από τα λαζάνια.
Καλύπτουμε με το ένα τρίτο του μείγματος από το σπανάκι και τα τυριά.
Επαναλαμβάνουμε άλλες τρεις φορές τελειώνοντας με μια στρώση από λαζάνια.
Μετά, καλύπτουμε τα λαζάνια με τη σάλτσα τομάτας και πασπαλίζουμε με την μοτσαρέλα.
Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 170°C για 45 περίπου λεπτά.
